해밀턴 역학

3. 전개

해밀턴 역학은 라그랑주 형식에서 '''르장드르 변환'''을 통해 얻어지는 해석역학의 한 형식이다. 처음에는 뉴턴 역학 분야에서 성립되었지만, 라그랑주 형식과 마찬가지로 폭넓은 분야에 응용되고 있다.

계의 주어진 시간의 상태는 위상 공간 $(M,\backslash omega)$ 위의 한 점으로 주어진다. 위상 공간은 심플렉틱 다양체이며, 이는 '''일반화 좌표''' $q(t)\; =\; (q\_1(t),\backslash ldots\; )$ 와 '''일반화 운동량''' $p(t)\; =\; (p\_1(t),\backslash ldots\; )$ 으로 구성된 공간으로 생각할 수 있다. 역학계의 성질은 이들 변수와 시간을 인수로 하는 '''해밀토니언'''(Hamiltonian^영어) $H(p,q;t)$ 에 의해 기술된다. 해밀토니언은 라그랑주 함수 $L(q,\; \backslash dot\{q\},\; t)$로부터 다음과 같이 정의된다.

:$H(p,q,t)\; =\; \backslash sum\_i\; p\_i\backslash ,\; \backslash dot\{q\}\_i(p,q,t)\; -L(q,\; \backslash dot\{q\}(p,q,t),\; t)$

여기서 일반화 속도 $\backslash dot\{q\}\_i$는 일반화 운동량의 정의 $p\_i\; =\; \backslash partial\; L\; /\; \backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_i$를 $\backslash dot\{q\}\_i$에 대해 풀어 $p,\; q,\; t$의 함수로 나타낸 것이다.

보존계의 경우, 해밀토니언은 종종 계의 총 에너지, 즉 운동 에너지 $T$와 위치 에너지 $V$(또는 $U$)의 합으로 해석될 수 있다($H\; =\; T\; +\; V$).^[5][6] 해밀토니언이 시간에 명시적으로 의존하지 않으면($\backslash partial\; H\; /\; \backslash partial\; t\; =\; 0$), 계의 총 에너지는 보존된다.

계의 시간 변화는 해밀토니언과 푸아송 괄호 $\backslash \{\backslash cdot,\backslash cdot\backslash \}$를 사용하여 기술된다. 계의 어떤 관측가능량(물리량) $A(p,q,t)$의 시간 변화는 다음과 같다.

:$\backslash frac\{dA\}\{dt\}=\backslash \{A,H\backslash \}+\backslash frac\{\backslash partial\; A\}\{\backslash partial\; t\}$

특히, 일반화 좌표와 일반화 운동량의 시간 변화는 '''해밀턴 방정식'''(Hamilton's equations^영어), 또는 '''정준 방정식'''이라 불리는 다음의 1계 미분 방정식으로 주어진다.

:$\backslash frac\{dq\_i\}\{dt\}\; =\backslash frac\{\backslash partial\; H\}\{\backslash partial\; p\_i\}$

:$\backslash frac\{dp\_i\}\{dt\}=\; -\backslash frac\{\backslash partial\; H\}\{\backslash partial\; q\_i\}$

이 방정식들은 해밀턴 형식의 최소 작용의 원리로부터 유도될 수도 있다. 해밀턴 형식에서는 운동 방정식이 좌표와 운동량에 대해 대칭적인 형태로 나타나며, 변수의 수는 라그랑주 형식의 두 배가 되지만 방정식의 계수는 1계로 낮아진다.

해밀턴 역학은 양자역학으로의 확장에 중요한 역할을 한다. 고전역학의 해밀턴 형식에서 물리량을 연산자로 바꾸고 정준 교환 관계를 도입하는 정준 양자화는 양자역학을 구축하는 기본적인 방법 중 하나이다. 또한 양자 다체론에서 사용되는 TDHF 근사가 특정 변환 하에서 해밀턴 역학과 동등하다는 점은 고전역학과 양자역학의 깊은 연관성을 시사한다.

3. 1. 해밀턴 방정식

• 해밀토니안 $\backslash mathcal\; H$의 값은 에너지 함수 $E\_\; \backslash mathcal\; L$가 정의될 때 계의 총 에너지와 같다.
• $\backslash boldsymbol\; p(t)$, $\backslash boldsymbol\; q(t)$가 해밀턴 방정식의 해일 때 $\backslash frac\{d\; \backslash mathcal\; H\}\{dt\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\; H\}\{\backslash partial\; t\}$이다. 이는 $\backslash frac\{d\; \backslash mathcal\; H\}\{dt\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\; H\}\{\backslash partial\; \backslash boldsymbol\{p\}\}\backslash cdot\; \backslash dot\backslash boldsymbol\{p\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\; H\}\{\backslash partial\; \backslash boldsymbol\{q\}\}\backslash cdot\; \backslash dot\backslash boldsymbol\{q\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\; H\}\{\backslash partial\; t\}$에서 해밀턴 방정식을 대입하면 마지막 항을 제외하고 상쇄되기 때문이다.
• $\backslash mathcal\{H\}$는 점 변환, 즉 공간 좌표의 매끄러운 변환 $\backslash boldsymbol\{q\}\; \backslash leftrightarrow\; \backslash boldsymbol\{q\text{'}\}$ 하에서 변하지 않는다.
• $\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\; H\}\{\backslash partial\; t\}\; =\; -\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\; L\}\{\backslash partial\; t\}$이다.
• $-\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\; H\}\{\backslash partial\; q^i\}\; =\; \backslash dot\; p\_i\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\; L\}\{\backslash partial\; q^i\}$이다.
• $\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\; H\}\{\backslash partial\; q^i\}\; =\; 0$인 경우는 $\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\; L\}\{\backslash partial\; q^i\}=0$인 경우와 같다. 이러한 좌표 $q^i$를 '''순환 좌표'''(또는 '''무시 가능한 좌표''')라고 하며, 해당 운동량 $p\_i$는 보존되어 문제 풀이를 용이하게 한다.

4. 라그랑주 역학과의 동등성

해밀턴 역학은 라그랑주 역학으로부터 유도할 수 있고, 반대로 라그랑주 역학을 해밀턴 역학으로부터 유도할 수 있다. 따라서 두 이론은 서로 동등하다. 해밀토니언은 라그랑지언의 르장드르 변환으로 정의된다.

:$H\; =\; H(q\_i,\; \backslash ;\; p\_i,\; \backslash ;\; t)\; =\; \backslash sum\_i\; p\_i\; \backslash dot\{q\}\_i\; -\; L$

여기서 $q\_i$는 일반화 좌표, $p\_i$는 일반화 운동량, $\backslash dot\{q\}\_i$는 일반화 속도, $L$은 라그랑지언, $H$는 해밀토니언이다.

해밀턴 방정식은 라그랑지언 $L$의 전미분으로부터 유도할 수 있다. 라그랑지언 $L(q\_i,\; \backslash dot\{q\}\_i,\; t)$의 전미분은 다음과 같다.

:$dL\; =\; \backslash sum\_i\; \backslash left(\; \{\backslash partial\; L\; \backslash over\; \backslash partial\; q\_i\}\; dq\_i\; +\; \{\backslash partial\; L\; \backslash over\; \backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_i\}\; d\; \backslash dot\{q\}\_i\; \backslash right)\; +\; \{\backslash partial\; L\; \backslash over\; \backslash partial\; t\}\; dt$

일반화 운동량 $p\_i$의 정의는 다음과 같다.

:$p\_i\; \backslash equiv\; \{\backslash partial\; L\; \backslash over\; \backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_i\; \}$

또한, 라그랑주 방정식으로부터 다음 관계를 알 수 있다.

:$\backslash dot\{p\}\_i\; =\; \{\backslash partial\; L\; \backslash over\; \backslash partial\; q\_i\}$

이 관계식들을 라그랑지언의 전미분 식에 대입하면 다음과 같다.

:$dL\; =\; \backslash sum\_i\; \backslash dot\{p\}\_i\; dq\_i\; +\; \backslash sum\_i\; p\_i\; d\; \backslash dot\{q\}\_i\; +\; \{\backslash partial\; L\; \backslash over\; \backslash partial\; t\}\; dt$

여기서 우변의 두 번째 항 $\backslash sum\_i\; p\_i\; d\; \backslash dot\{q\}\_i$에 곱 규칙을 적용하여 변형하면 다음과 같다.

:$\backslash sum\_i\; p\_i\; d\; \backslash dot\{q\}\_i\; =\; d\; \backslash left(\backslash sum\_i\; p\_i\; \backslash dot\{q\}\_i\; \backslash right)\; -\; \backslash sum\_i\; \backslash dot\{q\}\_i\; d\; p\_i$

이것을 다시 $dL$ 식에 대입하고 정리하면 다음을 얻는다.

:$d\; \backslash left(\backslash sum\_i\; p\_i\; \backslash dot\{q\}\_i\; -\; L\; \backslash right)\; =\; \backslash sum\_i\; \backslash dot\{q\}\_i\; d\; p\_i\; -\; \backslash sum\_i\; \backslash dot\{p\}\_i\; dq\_i\; -\; \{\backslash partial\; L\; \backslash over\; \backslash partial\; t\}\; dt$

좌변의 $\backslash sum\_i\; p\_i\; \backslash dot\{q\}\_i\; -\; L$은 위에서 정의한 해밀토니언 $H$와 같다. 따라서 다음 식을 얻는다.

:$d\; H\; =\; \backslash sum\_i\; \backslash dot\{q\}\_i\; d\; p\_i\; -\; \backslash sum\_i\; \backslash dot\{p\}\_i\; dq\_i\; -\; \{\backslash partial\; L\; \backslash over\; \backslash partial\; t\}\; dt$

한편, 해밀토니언 $H$는 일반화 좌표 $q\_i$, 일반화 운동량 $p\_i$, 시간 $t$의 함수이므로, 그 전미분은 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:$d\; H\; =\; \backslash sum\_i\; \backslash left(\; \{\backslash partial\; H\; \backslash over\; \backslash partial\; q\_i\}\; dq\_i\; +\; \{\backslash partial\; H\; \backslash over\; \backslash partial\; p\_i\}\; d\; p\_i\; \backslash right)\; +\; \{\backslash partial\; H\; \backslash over\; \backslash partial\; t\}\; dt$

$dH$에 대한 두 표현식을 비교하면, 각 미분항($dq\_i,\; dp\_i,\; dt$)의 계수가 같아야 하므로 다음 관계식들을 얻을 수 있다.^[3]

:$\backslash dot\{q\}\_i\; =\; \{\backslash partial\; H\; \backslash over\; \backslash partial\; p\_i\}$

:$\backslash dot\{p\}\_i\; =\; -\; \{\backslash partial\; H\; \backslash over\; \backslash partial\; q\_i\}$

:$\{\backslash partial\; H\; \backslash over\; \backslash partial\; t\}\; =\; -\; \{\backslash partial\; L\; \backslash over\; \backslash partial\; t\}$

처음 두 식을 '''해밀턴 방정식'''(Hamilton's equations|해밀턴 방정식^영어)이라고 한다. 이 방정식들은 계의 시간 변화를 기술하는 1계 미분 방정식이다. 마지막 식은 해밀토니언과 라그랑지언의 시간 편미분 사이의 관계를 보여주지만, 보통 해밀턴 방정식에는 포함되지 않는다.

이 유도 과정은 라그랑주 역학의 기본 방정식(라그랑주 방정식)과 정의(일반화 운동량, 해밀토니언)를 사용하여 해밀턴 역학의 기본 방정식(해밀턴 방정식)을 이끌어낼 수 있음을 보여준다. 반대로 해밀턴 방정식으로부터 라그랑주 방정식을 유도하는 것도 가능하므로, 두 역학 체계는 동등하다.

5. 해밀턴의 원리로부터 해밀턴 방정식의 유도

해밀턴 방정식은 해밀턴의 원리로부터 유도할 수 있다. 먼저 해밀턴의 원리에서 작용 $S$는 라그랑지언 $L$을 이용하여 다음과 같이 시간 $t\_1$부터 $t\_2$까지의 적분으로 정의된다.

:$S[\backslash mathbf\{q\}(t)]\; =\; \backslash int\_\{t\_\{1\}\}^\{t\_\{2\}\}\; L(\backslash mathbf\{q\},\backslash dot\{\backslash mathbf\{q\}\},t)\backslash ,\; dt$

여기서 라그랑지언 $L$은 해밀토니언 $H$의 르장드르 변환을 통해 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$L\; =\; \backslash sum\_i\; p\_i\; \backslash dot\{q\}\_i\; -\; H$

이 관계식을 작용 $S$의 정의에 대입하면, 작용은 일반화 좌표 $\backslash mathbf\{q\}$와 일반화 운동량 $\backslash mathbf\{p\}$로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$S[\backslash mathbf\{q\}(t),\; \backslash mathbf\{p\}(t)]\; =\; \backslash int\_\{t\_\{1\}\}^\{t\_\{2\}\}\backslash left[\; \backslash sum\_i\; p\_i\; \backslash dot\{q\}\_i\; -\; H(\backslash mathbf\{p\},\; \backslash mathbf\{q\},\; t)\; \backslash right]\; dt$

이제 이 작용 $S$에 변분 $\backslash delta$를 취한다. $\backslash mathbf\{q\}$와 $\backslash mathbf\{p\}$를 독립적인 변수로 취급하여 변분을 계산하면 다음과 같다.

:$\backslash delta\; S\; =\; \backslash int\_\{t\_\{1\}\}^\{t\_\{2\}\}\backslash left[\; \backslash sum\_i\; \backslash left(\; \backslash delta\; p\_i\; \backslash dot\{q\}\_i\; +\; p\_i\; \backslash delta\; \backslash dot\{q\}\_i\; -\; \{\backslash partial\; H\; \backslash over\; \backslash partial\; p\_i\; \}\; \backslash delta\; p\_i\; -\; \{\backslash partial\; H\; \backslash over\; \backslash partial\; q\_i\; \}\; \backslash delta\; q\_i\; \backslash right)\; \backslash right]\; dt$

여기서 $\backslash delta\; \backslash dot\{q\}\_i\; =\; \backslash delta\; (dq\_i/dt)\; =\; d(\backslash delta\; q\_i)/dt$ 이므로, 두 번째 항 $p\_i\; \backslash delta\; \backslash dot\{q\}\_i$에 대해 부분적분을 적용하면 다음과 같다.

:$\backslash int\_\{t\_\{1\}\}^\{t\_\{2\}\}\; p\_i\; \backslash delta\; \backslash dot\{q\}\_i\; dt\; =\; \backslash int\_\{t\_\{1\}\}^\{t\_\{2\}\}\; p\_i\; \{d\; \backslash over\; dt\}(\backslash delta\; q\_i)\; dt\; =\; \backslash left[\; p\_i\; \backslash delta\; q\_i\; \backslash right]\_\{t\_\{1\}\}^\{t\_\{2\}\}\; -\; \backslash int\_\{t\_\{1\}\}^\{t\_\{2\}\}\; \backslash dot\{p\}\_i\; \backslash delta\; q\_i\; dt$

물리계가 $t\_1$과 $t\_2$ 시점에서 고정된 상태를 가진다고 가정하면, 경로의 양 끝점에서는 좌표의 변분 $\backslash delta\; q\_i$가 0이다($\backslash delta\; q\_i(t\_1)\; =\; \backslash delta\; q\_i(t\_2)\; =\; 0$). 따라서 부분적분의 첫 번째 항 $\backslash left[\; p\_i\; \backslash delta\; q\_i\; \backslash right]\_\{t\_\{1\}\}^\{t\_\{2\}\}$은 0이 된다.

부분적분 결과를 원래의 변분 식에 대입하고 $\backslash delta\; p\_i$와 $\backslash delta\; q\_i$에 대해 정리하면 다음과 같다.

:$\backslash delta\; S\; =\; \backslash int\_\{t\_\{1\}\}^\{t\_\{2\}\}\backslash left[\; \backslash sum\_i\; \backslash left\backslash \{\; \backslash left(\; \backslash dot\{q\}\_i\; -\; \{\backslash partial\; H\; \backslash over\; \backslash partial\; p\_i\; \}\; \backslash right)\; \backslash delta\; p\_i\; -\; \backslash left(\backslash dot\{p\}\_i\; +\; \{\backslash partial\; H\; \backslash over\; \backslash partial\; q\_i\; \}\; \backslash right)\; \backslash delta\; q\_i\; \backslash right\backslash \}\; \backslash right]\; dt$

해밀턴의 원리에 따르면, 자연계에서 실제로 일어나는 운동 경로는 작용 $S$를 정상화(stationary)시키는 경로이다. 이는 작용의 변분 $\backslash delta\; S$가 0이어야 함을 의미한다 ($\backslash delta\; S\; =\; 0$). 이 조건은 적분 구간 내에서 임의의 작은 변분 $\backslash delta\; p\_i$와 $\backslash delta\; q\_i$에 대해 항상 성립해야 하므로, 적분 안의 각 변분의 계수가 반드시 0이 되어야 한다.

:$\backslash dot\{q\}\_i\; -\; \{\backslash partial\; H\; \backslash over\; \backslash partial\; p\_i\; \}\; =\; 0\; \backslash quad\; \backslash implies\; \backslash quad\; \backslash dot\{q\}\_i\; =\; \{\backslash partial\; H\; \backslash over\; \backslash partial\; p\_i\}$

:$\backslash dot\{p\}\_i\; +\; \{\backslash partial\; H\; \backslash over\; \backslash partial\; q\_i\; \}\; =\; 0\; \backslash quad\; \backslash implies\; \backslash quad\; \backslash dot\{p\}\_i\; =\; -\; \{\backslash partial\; H\; \backslash over\; \backslash partial\; q\_i\}$

이 두 방정식이 바로 해밀턴 방정식 또는 정준 방정식이다.

작용 함수 $\backslash mathcal\{S\}$는 특정 경로 $\backslash boldsymbol\{q\}(t)$에 대해 다음과 같이 정의될 수도 있다.

:$\backslash mathcal\; S[\backslash boldsymbol\; q]\; =\; \backslash int\_a^b\; \backslash mathcal\; L(t,\backslash boldsymbol\; q(t),\backslash dot\{\backslash boldsymbol\; q\}(t))\backslash ,\; dt\; =\; \backslash int\_a^b\; \backslash left(\backslash sum^n\_\{i=1\}\; p\_i\backslash dot\; q^i\; -\; \backslash mathcal\; H(\backslash boldsymbol\{p\},\backslash boldsymbol\{q\},t)\; \backslash right)\backslash ,\; dt$

여기서 $\backslash boldsymbol\{p\}\; =\; \backslash partial\; \backslash mathcal\; L/\backslash partial\; \backslash boldsymbol\{\backslash dot\; q\}$이다. 어떤 경로 $\backslash boldsymbol\{q\}(t)$가 작용 함수 $\backslash mathcal\{S\}$의 정류점(stationary point)이 된다는 조건은, 위상 공간 좌표 $(\backslash boldsymbol\{p\}(t),\backslash boldsymbol\{q\}(t))$에서 해당 경로가 해밀턴 방정식을 만족한다는 것과 동등하다. 즉, 해밀턴의 원리(작용의 정상화 원리)는 해밀턴 방정식을 직접적으로 유도하는 근본 원리가 된다.

6. 정준변환

일반화 좌표 q, 일반화 운동량 p에서 변환을 하여

: $P\_i\; =\; P\_i(p,q,t),\backslash quad\; Q\_i=Q\_i(p,q,t)$

를 수행했을 때, P, Q와 시간의 함수로 쓰여진 새로운 해밀토니안 H'(P,Q,t)를 이용하여

: $\backslash dot\{Q\}\_i\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; H\text{'}\}\{\backslash partial\; P\_i\},~\; \backslash dot\{P\}\_i\; =\; -\backslash frac\{\backslash partial\; H\text{'}\}\{\backslash partial\; Q\_i\}$

가 성립할 때, 이 변환을 '''정준변환'''이라고 한다.

일반화 좌표와 일반화 운동량은 정준변환에 의해 상호 혼합되며, 양자의 구별은 모호해진다. 일반화 좌표와 일반화 운동량을 총칭하여 '''정준켤레량'''이라고 부른다.

정준켤레량 p, q에 의해 생성되는 공간은 위상공간이라고 불리며, 정준변환은 두 개의 위상공간을 대응시키는 변환이다.

7. 푸아송 괄호

'''푸아송 괄호'''(푸아송의 괄호식)는 정준 변수와 시간의 함수로 쓰인 물리량 A, B에 대해 다음과 같이 정의되는 양이다.

$\backslash \{\; A,\; B\; \backslash \}\; =\; \backslash sum\_i\; \backslash biggl($

\frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial B}{\partial q_i}

• \frac{\partial B}{\partial p_i}\frac{\partial A}{\partial q_i}

8. 심플렉틱 기하학

해밀토니안은 매끄러운 짝수 차원 다양체 ''M''^2''n''에 사교 구조를 여러 가지 동등한 방식으로 유도할 수 있다. 가장 잘 알려진 방식은 닫힌 비퇴화 사교 2-형식 ''ω''를 이용하는 것이다. 다르부 정리에 따르면, ''M''의 임의의 점 주변 작은 근방에는 정준 좌표(사교 좌표)라 불리는 적절한 국소 좌표 $p\_1,\; \backslash cdots,\; p\_n,\; \backslash \; q\_1,\; \backslash cdots,\; q\_n$가 존재하며, 이 좌표계에서 사교 형식은 다음과 같이 표현된다.

$$\backslash omega\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; dp\_i\; \backslash wedge\; dq\_i\; \backslash ,\; .$$

이 사교 형식 $\backslash omega$는 각 점 ''x''에서의 접공간 $T\_xM$과 여접공간 $T^*\_xM$ 사이에 자연스러운 동형 사상 $T\_xM\; \backslash cong\; T^*\_xM$을 정의한다. 이 사상은 벡터 $\backslash xi\; \backslash in\; T\_x\; M$를 1-형식 $\backslash omega\_\backslash xi\; \backslash in\; T^*\_xM$에 대응시키며, 모든 $\backslash eta\; \backslash in\; T\_x\; M$에 대해 $\backslash omega\_\backslash xi\; (\backslash eta)\; =\; \backslash omega(\backslash eta,\; \backslash xi)$ 관계를 만족한다. $\backslash omega$의 이중 선형성과 비퇴화성, 그리고 $\backslash dim\; T\_x\; M\; =\; \backslash dim\; T^*\_x\; M$이라는 사실 때문에, 사상 $\backslash xi\; \backslash mapsto\; \backslash omega\_\backslash xi$는 선형 동형 사상이다. 이 동형 사상은 좌표 변환에 불변이므로 '자연적'이라고 불린다. 이를 모든 점 $x\; \backslash in\; M$에 대해 적용하면, 매끄러운 벡터장의 공간 $\backslash text\{Vect\}(M)$과 매끄러운 1-형식의 공간 $\backslash Omega^1(M)$ 사이에 동형 사상 $J^\{-1\}\; :\; \backslash text\{Vect\}(M)\; \backslash to\; \backslash Omega^1(M)$을 얻는다. 이 사상은 $C^\backslash infty(M,\backslash mathbb\{R\})$-선형이다. 즉, 모든 $f,g\; \backslash in\; C^\backslash infty(M,\backslash mathbb\{R\})$와 $\backslash xi,\backslash eta\; \backslash in\; \backslash text\{Vect\}(M)$에 대해 다음이 성립한다.

$$J^\{-1\}(f\backslash xi\; +\; g\backslash eta)\; =\; fJ^\{-1\}(\backslash xi)\; +\; gJ^\{-1\}(\backslash eta).$$

시간 ''t''에 의존할 수 있는 해밀토니안 함수 $H\; \backslash in\; C^\backslash infty(M\; \backslash times\; \backslash mathbb\{R\}\_t,\; \backslash mathbb\{R\})$가 주어지면, 각 고정된 시간 $t\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}\_t$에 대해 외미분 $dH\; \backslash in\; \backslash Omega^1(M)$을 생각할 수 있다. 위에서 정의한 동형 사상 $J\; =\; (J^\{-1\})^\{-1\}$를 이용하여 벡터장 $J(dH)\; \backslash in\; \backslash text\{Vect\}(M)$를 얻는데, 이를 해밀턴 벡터장이라고 한다. 이 벡터장이 정의하는 ''M'' 상의 미분 방정식

$$\backslash dot\{x\}\; =\; J(dH)(x)$$

을 '''해밀턴 방정식'''이라고 한다. 여기서 $x=x(t)$는 시간에 따른 계의 상태(곡선)이고, $J(dH)(x)\; \backslash in\; T\_xM$는 점 $x\; \backslash in\; M$에서의 해밀턴 벡터장의 값이다.

해밀턴 계는 시간 $\backslash mathbb\{R\}$을 기저 공간으로 하는 섬유 다발 ''E''로 볼 수 있다. 여기서 시간 ''t'' ∈ $\backslash mathbb\{R\}$에 해당하는 섬유 ''E_t''는 해당 시점의 위치 공간이다. 라그랑지안은 ''E'' 위의 제트 번들 ''J'' 위의 함수로 정의된다. 라그랑지안의 섬유별 르장드르 변환은 시간 위의 쌍대 다발 위의 함수를 정의하는데, 시간 ''t''에서의 섬유는 자연적인 사교 형식을 갖춘 여접공간 $T^*E\_t$이다. 이 쌍대 다발 위의 함수가 바로 해밀토니안이다. 라그랑주 역학과 해밀턴 역학 사이의 관계는 자명 1-형식을 통해 설명된다.

사교 다양체 위의 임의의 매끄러운 실수값 함수 $H$는 해밀턴 계를 정의하는 데 사용될 수 있으며, 이 함수 $H$를 "해밀토니안" 또는 "에너지 함수"라고 부른다. 이때 사교 다양체는 계의 상공간 역할을 한다. 해밀토니안은 상공간 위에 해밀턴 벡터장이라 불리는 벡터장을 유도한다.

해밀턴 벡터장은 다양체 위에 해밀턴 흐름을 생성한다. 이는 다양체 위의 심플렉토모피즘(사교 변환)으로 이루어진 1-매개변수 군(group)이며, 시간 ''t''=0에서 항등 변환으로 시작하는 아이소토피이다. 리우빌의 정리에 따르면, 해밀턴 흐름의 각 심플렉토모피즘은 상공간의 체적 형식을 보존한다. 해밀턴 흐름에 의해 생성된 심플렉토모피즘들의 집합을 해밀턴 계의 "해밀턴 역학"이라고 부르기도 한다.

사교 구조는 푸아송 괄호 연산을 정의하게 한다. 푸아송 괄호는 다양체 위의 매끄러운 함수 공간에 리 대수 구조를 부여한다. 두 매끄러운 함수 ''F'', ''G'' : ''M'' → $\backslash mathbb\{R\}$에 대해, 푸아송 괄호 $\backslash \{F,\; G\backslash \}$는 다음과 같이 정의되는 매끄러운 함수이다.

$$\backslash \{F,\; G\backslash \}\; =\; \backslash omega(J(dF),\; J(dG))$$

푸아송 괄호는 다음과 같은 주요 성질을 만족한다.

# 이중 선형성

# 반대칭성: $\backslash \{F,\; G\backslash \}\; =\; -\backslash \{G,\; F\backslash \}$

# 라이프니츠 법칙: $\backslash \{F\_1\; \backslash cdot\; F\_2,\; G\backslash \}\; =\; F\_1\backslash \{F\_2,\; G\backslash \}\; +\; F\_2\backslash \{F\_1,\; G\backslash \}$

# 야코비 항등식: $\backslash \{\backslash \{H,F\backslash \},\; G\backslash \}\; +\; \backslash \{\backslash \{F,\; G\backslash \},\; H\backslash \}\; +\; \backslash \{\backslash \{G,\; H\backslash \},\; F\backslash \}\; \backslash equiv\; 0$

# 비퇴화성: 만약 점 ''x'' ∈ ''M''에서 ''F''의 미분 $dF(x)\; \backslash neq\; 0$이면 (즉, ''x''가 ''F''의 임계점이 아니면), $\backslash \{F,\; G\backslash \}(x)\; \backslash neq\; 0$을 만족하는 매끄러운 함수 ''G''가 존재한다.

임의의 함수 ''f'' : ''M'' × $\backslash mathbb\{R\}$_t → $\backslash mathbb\{R\}$의 시간에 따른 변화율은 다음과 같이 주어진다.

$$\backslash frac\{d\}\{dt\}\; f\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; t\}\; +\; \backslash \{f,\; H\backslash \}$$

특히, 상공간 위의 확률 분포 ''ρ''가 주어지면 (상공간 속도 $(\backslash dot\{p\}\_i,\; \backslash dot\{q\}\_i)$의 발산이 0이므로 확률이 보존된다), 그 대류 도함수는 0이 된다. 이는 다음과 같은 연속 방정식을 만족함을 의미한다.

$$\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash rho\}\{\backslash partial\; t\}\; =\; -\; \backslash \{\backslash rho,\; H\backslash \}$$

이를 리우빌의 정리라고 한다. 사교 다양체 위의 모든 매끄러운 함수 ''G''는 1-매개변수 심플렉토모피즘 군을 생성한다. 만약 $\backslash \{G,\; H\backslash \}\; =\; 0$이면, ''G''는 운동 상수(보존량)가 되며, ''G''가 생성하는 심플렉토모피즘은 계의 대칭 변환이 된다.

해밀토니안은 여러 개의 보존량 ''G''_''i''를 가질 수 있다. 만약 2''n'' 차원의 사교 다양체에서 서로 푸아송 가환인(즉, $\backslash \{G\_i,\; G\_j\backslash \}\; =\; 0$) 함수적으로 독립적인 ''n''개의 보존량 ''G_i''가 존재하면, 그 해밀토니안 계는 리우빌 적분 가능하다고 한다. 리우빌-아놀드 정리에 따르면, 국소적으로 모든 리우빌 적분 가능 해밀토니안은 심플렉토모피즘을 통해 새로운 좌표계로 변환될 수 있다. 이 새로운 좌표계에서는 보존량 ''G_i''들이 좌표의 일부가 되며, 이를 작용-각도 좌표라고 한다. 변환된 해밀토니안 $H\text{'}$는 작용 변수 ''G_i''에만 의존하므로, 운동 방정식은 다음과 같은 간단한 형태로 표현된다.

$$\backslash dot\{G\}\_i\; =\; \backslash \{G\_i,\; H\text{'}\backslash \}\; =\; 0\; \backslash quad\; ,\; \backslash quad\; \backslash dot\{\backslash varphi\}\_i\; =\; \backslash \{\backslash varphi\_i,\; H\text{'}\backslash \}\; =\; F\_i(G)$$

여기서 $\backslash varphi\_i$는 각도 변수이고 ''F_i''는 어떤 함수이다.^[8] KAM 정리는 이러한 적분 가능 계에 작은 섭동이 가해졌을 때의 동역학을 다루는 중요한 이론이다.

일반적인 해밀턴 계의 해밀턴 벡터장의 적분 가능성은 아직 완전히 해결되지 않은 문제이다. 많은 해밀턴 계는 카오스적 행동을 보이며, 이러한 계에서는 측정, 완전성, 적분 가능성, 안정성 등의 개념을 명확하게 정의하기 어렵다.

9. 리만 다양체

해밀토니안이 이차 형식인 경우는 중요한 특수한 경우이다. 이 경우 해밀토니안은 다음과 같이 표현될 수 있다.

$$\backslash mathcal\{H\}(q,p)\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\; \backslash langle\; p,\; p\backslash rangle\_q$$

여기서 $\backslash langle\; ,\; \backslash rangle\_q$는 배위 공간의 점 $q$에 대한 접공간 다발의 섬유 $T^*\_q\; Q$ 위에서 부드럽게 변하는 내적이며, 때때로 코메트릭(cometric)이라고도 불린다. 이 해밀토니안은 전적으로 운동 에너지 항으로만 구성된다.

리만 다양체 또는 유사 리만 다양체를 고려하면, 리만 계량은 접다발과 접공간 다발 사이에 선형 동형 사상을 유도한다. 이 동형 사상은 ''뮤지컬 동형 사상''이라고도 한다. 이 동형 사상을 사용하여 코메트릭을 정의할 수 있는데, 좌표계에서 코메트릭을 나타내는 행렬은 리만 계량을 나타내는 행렬의 역행렬이다.

이렇게 정의된 해밀토니안에 대한 해밀턴-야코비 방정식의 해는 해당 다양체 위의 측지선과 같다. 특히, 이 경우의 해밀토니안 흐름은 측지 흐름과 같다. 이러한 해의 존재와 해 집합의 완전성에 대한 자세한 내용은 측지선 문서에서 다루어진다.

10. 하위 리만 다양체

코메트릭이 축퇴(degenerate)되면 역변환이 불가능하다. 이 경우, 메트릭이 없으므로 리만 다양체가 아니다. 그러나 해밀토니안은 여전히 존재한다. 배위 공간 다양체 Q의 모든 점 q에서 코메트릭이 축퇴되어 코메트릭의 계수가 다양체 Q의 차원보다 작을 때, 서브리만 다양체를 얻게 된다.

이 경우 해밀토니안을 '''서브리만 해밀토니안'''이라고 한다. 모든 서브리만 해밀토니안은 코메트릭을 유일하게 결정하며, 그 반대도 마찬가지이다. 이는 모든 서브리만 다양체가 그 서브리만 해밀토니안에 의해 유일하게 결정되고, 그 역도 성립함을 의미한다. 즉, 모든 서브리만 다양체는 유일한 서브리만 해밀토니안을 갖는다. 서브리만 측지선의 존재는 초-라셰프스키 정리에 의해 주어진다.

연속적인 실수값 하이젠베르크 군은 서브리만 다양체의 간단한 예를 제공한다. 하이젠베르크 군에 대해 해밀토니안은 다음과 같이 주어진다.

$$\backslash mathcal\{H\}\backslash left(x,y,z,p\_x,p\_y,p\_z\backslash right)\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash left(\; p\_x^2\; +\; p\_y^2\; \backslash right).$$

p_z는 해밀토니안에 포함되지 않는다.

11. 양자 역학으로의 일반화

해밀턴 방정식은 고전역학에서는 잘 작동하지만, 입자의 정확한 위치와 운동량을 동시에 확정적으로 기술할 수 있다는 가정을 전제하기 때문에 양자역학에는 직접 적용하기 어렵다.

그러나 해밀턴 역학은 푸아송 대수를 이용해 더 일반적으로 공식화될 수 있으며, 특히 푸아송 괄호를 모얄 괄호의 대수로 확장하면 고전역학과 양자역학 모두에 적용 가능한 형태로 일반화하는 것이 가능하다. 이러한 접근 방식은 상공간에서의 확률 분포를 위그너 준확률 분포로 확장하는 것을 허용한다.

해밀턴 방정식의 보다 일반적인 형태는 푸아송 괄호를 사용하여 다음과 같이 표현된다.

$$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}f\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\; =\; \backslash \{f,\; \backslash mathcal\{H\}\backslash \}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; t\}$$

여기서 $f$는 위상 공간에서의 함수이고, $\backslash mathcal\{H\}$는 해밀토니안이다. 이 식에서 사용된 $\backslash \{f,\; \backslash mathcal\{H\}\backslash \}$는 $f$와 $\backslash mathcal\{H\}$의 푸아송 괄호이다. 푸아송 괄호는 정준 변수 $q\_i$, $p\_i$와 시간의 함수로 쓰인 두 물리량 $A,\; B$에 대해 다음과 같이 정의된다.

$\backslash \{\; A,\; B\; \backslash \}\; =\; \backslash sum\_i\; \backslash biggl($

\frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial B}{\partial q_i}

• \frac{\partial B}{\partial p_i}\frac{\partial A}{\partial q_i}

참조

_[1] 서적 On a general method of expressing the paths of light, & of the planets, by the coefficients of a characteristic function. http://worldcat.org/[...] Printed by P.D. Hardy 1833
_[2] harvnb 1976
_[3] harvnb 1989
_[4] harvnb 2002
_[5] harvnb 2016
_[6] harvnb 1976
_[7] 저널 Gauge invariance 2008-12-04
_[8] harvnb 1988
_[9] 저널 On a General Method in Dynamics; By Which the Study of the Motions of All Free Systems of Attracting or Repelling Points is Reduced to the Search and Differentiation of One Central Relation, or Characteristic Function http://www.maths.tcd[...] 1834
_[10] 저널 Second Essay on a General Method in Dynamics http://www.maths.tcd[...] 1835